삭감할 수 없다항식

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수학에서는, 객체가 주어진 반지에 있는 적어도 2개의 사소하지 않은 요인의 제품으로 표현될 수 없다 형용사 삭감할 수 없는 방법. 인수 분해를 또한 보십시오. 어떤 야전든지 (수학) 를 위해 F, F에 있는 계수에 다항식의 반지 (수학) 는 만약에 비일정하 이 정의에 의하여 >몇몇> 간단한 예가 아래에서 토론될 야전 >F.> 에 달려 있는 F x에서 2개 이상 비일정한 다항식의 제품으로 나타날 수 없으면 F >에 있는 다항식 >p (x)가 x 삭감할 수 없는 전면 F에게 불리는 F x A에 의해 표시된다. Galois 이론은 야전, Galois 그것의 단 및 충분히 그것의 삭감할 수 없는 다항식 사이 관계를 공부한다. 흥미롭고 사소하지 않은 응용은 유한체의 연구 결과에서 찾아낼 수 있다. 소수에 삭감할 수 없는 다항식을 비교하는 것은 도움이 된다: 소수는 (동등한 계수의 대응 마이너스 숫자와 함께) 삭감할 수 없는 정수이다.

그들은 주요한 삭감할 수 없는 요인으로 필수적으로 유일한 인수 분해와 같은 삭감할 수 없는 다항식에 동등하게 적용하는 개념 irreducibility의 일반적인 속성의 많은 것을 전시한다: F x >에 있는 각> 다항식 >p (x)는 >삭감할 수 없는 전면 F. 이 인수 분해 요인의 순열 및 F에서 요인에 불변의 것의 곱셈까지 유일한인 다항식으로 인수 분해될 수 있다.

간단한 예

뒤에 오는 3개의 다항식은 가약한 삭감할 수 없는 다항식의 몇몇 초등 속성을 설명한다: >p-1(x) x^2-4는, (x-2) (x+2) p-2(x) x^2-2, (x- sqrt {2}) (x+ sqrt {2}) p-3(x) 유리수의 야전 Q에 x^2+1> , (XI) (x+i), 첫번째 다항식 >p-1(x)> 가약하다, 그러나 그밖 2개의 다항식은 삭감할 수 없다.

실수의 야전 R에, 2개의 다항식은 >p-1(x)> 와 >p-2(x)> 가약하다, 그러나 >p-3(x)는> 아직도 삭감할 수 없다. 복소수의 야전 C에, 모든 3개의 다항식은 가약하다. 실제로 정상 C는 선형 요인 p로 (z), 각 비일정한 다항식 >(z-z-1) (z-z-2 인수 분해될 수 있다) 다항식 및> z-1 >의> 선도하는 계수가 인 곳에 cdots (z-z-n >) 는 정도 1의, > ldots, z-n p >(z)의> 0 그러므로, 모든 삭감할 수 없는 다항식 이다이다. 이것은 대수의 기본적인 법칙이다. 주: Q에 x 속하지 않는 >요인으로 필수적으로 유일한 인수 분해 p-3(x) x^2+1> 의 실존은 (XI) (x+i) >의 p-3(x) >이 다항식이 삭감할 수 없는 전면 Q다는 것을 함축한다: 다른 인수 분해가 있을 수 없다. 이 보기는 선형 요인으로 다항식 (대수학 방정식의 해결책) 의 0와 다항식의 인수 분해 사이 관계를 설명한다. 이 다항식 조차 선형 요인으로 감소될 수 있다 그래야 저 원래 수체의 야전 연장이 정도 보다 큰 것의 삭감할 수 없는 다항식의 실존에 의하여 (안으로 0 없이 원래 야전) 역사적으로 동기를 주었다: 에서 실수와 더 복소수에 유리수. 대수학 목적을 위해, 유리수에서 실수에 연장은 수시로 너무 과격하다: 그것은 (합리적인 계수에 대수학 방정식의 해결책이 아닌) 초자연 수 소개한다. 이 수는 다항식 (그러나 수리 분석에 있는 실수의 사용에 필수이) 인수 분해하기의 대수학 목적을 위해 필요하지 않다. 따라서, 이 다항식 p (x)가 선형 요인으로 감소될 수 있는 더 큰 야전에 연장을 >주어진> 다항식 p (x)에 주어진 야전 >F 수비에 세우는> 순전히 대수학 프로세스가 있다. 같은 연장의 연구 결과는 Galois 이론의 출발점이다.

일반화

만약에 R가 정역이면, 만약에 비부대 g 및 f gh에 h가 없으면 0 아니없는 R 도 아니다 부대의 성분 f는 삭감할 수 없는 칭한다. 1개는, 전환 일반적으로 그러나 유일한 인수분해 정역에 있는 파악 진실하지 않다 각 소수 성분이 다는 것을 보여줄 수 있다. 다항식환 F x 정상은 야전 F 유일한 인수분해 정역이다.