반대한계

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수학에서는, (또한 사영 한계이라고 칭하는) 역극한은 1개가 몇몇 관련 객체를 함께 아교로 붙이는 것을 허용하는 건축, 객체 사이 morphisms에 의해 지정되는 아교로 붙이는 프로세스의 정확한 사정 이다. 역극한은 아무 종류나 (수학) 에서 정의될 수 있다, 그러나 우리는 처음에 단지 단 (수학) 의 역극한을 고려할 것이다.

형식 정의

대수학 객체

우리는 단 (수학) 와 단 이체 동형의 반대 시스템의 정의에서 시작한다. 시키는 (I, =) 지시한 고정되는 poset있으십시오 (모든 저자는 아닙니다 I를 지시될 것을 요구한다). {Ai 나 I} 있고 군지표 세트의 계열 I에 의하여 우리에게는 모두를 위한 homomorphisms fij Aj Ai의 계열이 i = 뒤에 오는 속성에 j (명령을 주의하십시오) 다는 것을 가정한다 시키십시오: 모두를 위한 모든 x Ai fik fij O fjk를 위한 fii (x) x i = j = k. 그 후에 쌍 (Ai fij는 단과 morphisms 전면 I.의 반대 시스템이라고 칭한다. 우리는 반대 시스템 (Ais의 역극한을의 직접곱의 특정한 소집단으로 Ai fij 정의한다: >varprojlim A-i는 {(a-i) 찌르기 {안으로 i I} A-i, 보리, a-i f- {ij} (a-j) mbox {모두를 위해} i leq j ight에서}> 역극한을, A, 온다 >I> A Ai를 직접곱의 ith 분대를 골라내는 자연적인 투상을 갖추고 있어 떠났다. 역극한 및 자연적인 투상은 다음 섹션에서 기술된 보편적인 속성을 만족시킨다.

이 동일 건축은 만약에 Ais이면 세트, 반지 (수학), 모듈 (수학) (조정 반지에), 야전에 대수 (조정 야전에), 등등 실행될 수 있고, homomorphisms는 대응 종류 이론에 있는 homomorphisms이다. 역극한은 또한 저 종류에 속할 것이다.

일반적인 정의

역극한은 임의 종류 (수학) 에서 보편적인 속성에 의하여 추상적으로 정의될 수 있다. 시키는 (XI fij는 종류 C (위와 같이 동일 정의있다) 에 있는 객체 그리고 morphisms의 반대 시스템. 이 시스템의 역극한은 morphisms와 함께 C에서 객체 x >I> X XI (투상이라고 부르는) 만족시키는 >i> fij O >j> 쌍 (X, >나는> 감에서 보편적 다른 어떤 같은 쌍을 위해 이어야 한다이다 (Y는, 거기 >i> 유일한 morphism u Y x 모든 명백한 identites를 진실한 만드는, i.e 도표 존재한다 모두를 위한 필요한 것 교환적인 도표 i, j. 역극한은 수시로 반대 >시스템에 표시한> X varprojlim XI이다 (XI 이해되는 fij. 대수학 객체를 위해와는 다른, 역극한은 임의 종류에서 존재하지 않을 수 있다. 만약에 그것이, 그러나, 강한 감에서 유일하다: 어떤 다른 역극한든지 X 주어 이다 투상 지도에 감형하는 유일한 동형 X x가 존재한다.

우리는 종류 C에 있는 반대 시스템이 functors의 점에서 양자택일 desription를 승인한ㄴ다는 것을 주의한다. 아무 부분적으로 명령한 세트나 나는 화살 I j iff I가 morphisms에 의하여 = 반대 시스템이 그 때 다만 contravariant functor I C.인 j. 이루어져 있는 작은 종류로 고려될 수 있다.

보기

p-adic 수의 반지는 일반적인 명령에 자연수인 색인 세트에 반지 Z/pnZ의 역극한 (모듈 산법을 보십시오), 그리고 포획 나머지인 morphisms이다. p-adic 정수에 자연적인 지세학은 여기에서 기술된 것과 동일하. 직업유한 단은 유한 단의 역극한으로 정의된다. 반대 시스템의 색인 세트 I를 시키십시오 (XI fij에는 최대 원소 m.가 있다. 그 때 자연적인 투상 >m> x Xm는 동형이다. 시키는 (I,) 지시되지 않는 () 하찮은 명령있으십시오. 어떤 대응 반대 시스템든지의 역극한은 다만 제품 (종류 이론) 이다. 3개 성분이 시키 나에 의하여 I, j 및 k에 i = j와 i = 지시되지 않는 () k 이루어져 있다. 철수 (종류 이론) 에 있는 어떤 대응 반대 시스템의 역극한.

관련 개념 및 일반화

역극한의 이중은 (종류 이론) 귀납적 극한이다 (또는 귀납적 극한). 일반적인 개념은 종류 이론의 한계 (종류 이론) 이다. 용어는 약간 복잡하다: 역극한은 귀납적 극한은 colimits인 그러나, 한계이다.