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Abstract algebra


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๋ณดํŽธ๋Œ€์ˆ˜

ณดํŽธ์ ์ธ ๋Œ€์ˆ˜๋Š” ๋ชจ๋“  ๋Œ€์ˆ˜ํ•™ ๊ตฌ์กฐ๋ฌผ์— ์ผ๋ฐ˜ ์•„์ด๋””์–ด๋ฅผ ๊ณต๋ถ€ํ•˜๋Š” ์ˆ˜ํ•™์˜ ์•ผ์ „์ด๋‹ค...


๋ฐ˜๋Œ€์„ฑ๋ถ„

ˆ˜ํ•™์—์„œ๋Š”, ์—ญ์›์†Œ์˜ ์•„์ด๋””์–ด๋Š” ์ถ”๊ฐ€์— ๊ด€ํ•˜์—ฌ ๋ถ€์ •์˜ ๊ฐœ๋…์˜ ๋‘˜ ๋‹ค, (๋ถ€๊ฐ€์ ์ธ ๋ฐ˜๋Œ€๋ฅผ ๋ณด์‹ญ์‹œ์˜ค), ๊ณฑ์…ˆ์— ๊ด€ํ•˜์—ฌ ์ƒํ˜ธ ์ผ๋ฐ˜ํ™”ํ•˜๊ณ . ์ง๊ด€์€ ๋‹ค๋ฅธ ์ฃผ์–ด์ง„ ์„ฑ๋ถ„์— ์กฐํ•ฉ์˜ ํšจ๋ ฅ์„ ์›์ƒํƒœ๋กœ ๋Œ๋ฆด ์ˆ˜ ์žˆ๋Š” ์„ฑ๋ถ„์˜ ์ด๋‹ค. S๋ฅผ ์ดํ•ญ ์—ฐ์‚ฐ์— ์„ธํŠธ์ธ ์‹œํ‚ค์‹ญ์‹œ์˜ค. ๋งŒ์•ฝ์— >e๊ฐ€> ํ•ญ๋“ฑ ์›์†Œ์˜์ด๋ฉด (>S>์™€ >b e> ๊ทธ ํ›„์— >a๋Š”> ๋งŒ์•ฝ์— ์„ฑ๋ถ„ >x๊ฐ€> ์ขŒ ๋ฐ˜๋Œ€๊ธฐ๋„ ํ•˜๊ณ  ์ด๋ฉด >y> ๊ทธ ๋•Œ >x>์˜ ์ ๋‹นํ•œ ๋ฐ˜๋Œ€๊ฐ€ ์–‘๋ฉด ๋ฐ˜๋Œ€์ด๋ผ๊ณ ..


Nearring

ฐ€๊น๋ฐ˜์ง€ ๋˜๋Š” nearring๋Š” ๋‹จ (์ˆ˜ํ•™) ์—์„œ natually ๋ฐœ์ƒํ•˜๋Š” 2๊ฐœ์˜ ์ดํ•ญ ์—ฐ์‚ฐ์— ์ถ”์ƒ์ ์ธ ๋Œ€์ˆ˜ ๋Œ€์ˆ˜ํ•™ ๊ตฌ์กฐ๋ฌผ์ด๋‹ค. ์‹œํ‚ค๋Š” >(G, +)> nonabelian ์ผ์ง€๋„ ๋ชจ๋ฅธ๋‹ค, ๋‹จ์žˆ๊ณ  M >(g) {f ์ค‘์•™ f๋ฅผ ์‹œํ‚ค์‹ญ์‹œ์˜ค:G o G๋Š”> } G์—์„œ ๋งŒ์•ฝ์— f, >M> (g) >์— ์žˆ๋Š”> g ๊ทธ ํ›„์— ์ง€๋„๋กœ ๋‚˜ํƒ€๋‚ด๋Š” f+g >์ถ”๊ฐ€๊ฐ€ M> (g) >์— ์ •์˜๋  ์ˆ˜ ์žˆ๋Š” G์—> ๋ชจ๋“  mappings์˜ >๋†“์•˜๋‹ค:G o G๋Š”> (f+g) >(x) (x) G์— ์žˆ๋Š” ๋ชจ๋“  x๋ฅผ ์œ„ํ•œ> f (x)+g >์— ์˜ํ•ด ๊ทธ..


๋ช…๋ถ€ ์˜ ๋ถ€์šธ ๋…ผ๋ฆฌ ์—ฐ์‚ฐ ๋Œ€์ˆ˜ํ™”์ œ

กฐ์ง€ Boole ๋Œ€ํ™”:์กฐ์ง€ Boole ๋ถ€์šธ ๋…ผ๋ฆฌ ์—ฐ์‚ฐ ๋Œ€์ˆ˜ ๋Œ€ํ™”:๋ถ€์šธ ๋…ผ๋ฆฌ ์—ฐ์‚ฐ ๋Œ€์ˆ˜ ๋ถ€์šธ ํ•จ์ˆ˜ ๋Œ€ํ™”:๋ถ€์šธ ํ•จ์ˆ˜ ๋ถ€์šธ ๋…ผ๋ฆฌ ์—ฐ์‚ฐ ์ด์ฒด ๋™ํ˜• ๋Œ€ํ™”:๋ถ€์šธ ๋…ผ๋ฆฌ ์—ฐ์‚ฐ ์ด์ฒด ๋™ํ˜• ๋ถ€์šธ ๋…ผ๋ฆฌ ์—ฐ์‚ฐ ์ฃผ์š”ํ•œ ์ด์ƒ์ ์ธ ๋ฒ•์น™ ๋Œ€ํ™”:๋ถ€์šธ ๋…ผ๋ฆฌ ์—ฐ์‚ฐ ์ฃผ์š”ํ•œ ์ด์ƒ์ ์ธ ๋ฒ•์น™ ๋ถ€์šธ ๋…ผ๋ฆฌ ์—ฐ์‚ฐ satisfiability ๋ฌธ์ œ ๋Œ€ํ™”:๋ถ€์šธ ๋…ผ๋ฆฌ ์—ฐ์‚ฐ satisfiability ๋ฌธ์ œ ํ‘œ์ค€ํ˜• (๋ถ€์šธ ๋…ผ๋ฆฌ ์—ฐ์‚ฐ ๋Œ€์ˆ˜) ๋Œ€ํ™”:ํ‘œ์ค€ํ˜• (๋ถ€์šธ ๋…ผ๋ฆฌ ์—ฐ์‚ฐ ๋Œ€์ˆ˜) ์ด˜์ด˜ํ•จ ๋ฒ•์น™ ๋Œ€ํ™”:์ด˜์ด˜ํ•จ ๋ฒ•์น™ ์—ฐ๊ฒฐ๋ฌผ์€..


์ˆœ์—ด

ด ์•ฝํ’ˆ์€ ์ˆœ์—ด์— ๊ด€ํ•˜์—ฌ, ์ˆ˜ํ•™ ๊ฐœ๋… ์ด๋‹ค. ์Œ์•…์— ์ด ๊ฐœ๋…์˜ ์‘์šฉ์„ ์œ„ํ•ด ์ˆœ์—ด (์Œ์•…) ๋ฅผ ๋ณด์‹ญ์‹œ์˜ค. ์ˆ˜ํ•™์—์„œ๋Š”, ์ˆœ์—ด์˜ ๊ฐœ๋…์€ ์ˆ˜ํ›ˆ์ด ์žˆ์„ ์ˆ˜ ์žˆ๋Š” ๊ฐ์ฒด๊ฐ€ ๊ฐ์ข… ๋‹ค๋ฅธ ์ˆœ์„œ ๋Œ€๋กœ ๋ฐฐ์—ด๋  ๋‹ค๋Š” ๊ฒƒ์„ ์•„์ด๋””์–ด๋ฅผ ํ‘œํ˜„ํ•œ๋‹ค. ์˜ˆ๋ฅผ ๋“ค๋ฉด, 2๊ฐœ ์กฐ์น˜๋ฅผ ์ทจํ•˜๊ธฐ์—์„œ ์•ž์œผ๋กœ ์‚ฌ๋žŒ์€ ๋ณด๋ณ‘์ด ์ฒซ๋ฒˆ์งธ์ธ ๊ฑธ์Œ์„ ์ขŒ์šฐ์— ๋˜๋Š” right-left ์ทจํ•  ์ˆ˜ ์žˆ๋‹ค. ๋” ๋ณต์žกํ•œ ์‘์šฉ์€ ๋ณ€๊ฒฝ ๋‘ฅ๊ธ€๊ฒŒ ๋˜๊ธฐ์—์„œ ์ƒ๊ธด๋‹ค. 6๊ฐœ์˜ ๋ฒจ์˜ ์ง‘ํ•ฉ์ด, ๋‹ค๋ฅธ ์ฃผ์˜, ๊ฐ๊ฐ ํ•œ..


๋‹จ์ด๋ก 

‹จ ์ด๋ก ์€ ๋‹จ (์ˆ˜ํ•™) ์˜ ์—ฐ๊ตฌ ๊ฒฐ๊ณผ์— ์—ผ๋ คํ•œ ์ˆ˜ํ•™์˜ ๋ถ„์ง€ ์ด๋‹ค. ๋‹จ ์ด๋ก ์„ ํ†ตํ•˜์—ฌ ์‚ฌ์šฉ๋œ ๊ธฐ๊ฐ„์˜ ์ •์˜๋ฅผ ์œ„ํ•œ ๋‹จ ์ด๋ก ์˜ ์šฉ์–ด์ง‘์„ ์ฐธ๊ณ ํ•˜์‹ญ์‹œ์˜ค. ๋‹จ ์ด๋ก  ํ™”์ œ์˜ ๋ช…๋ถ€๋ฅผ ๋˜ํ•œ ๋ณด์‹ญ์‹œ์˜ค...


Antihomomorphism

ˆ˜ํ•™์—์„œ๋Š”, antihomomorphism๋Š” ๊ณฑ์…ˆ์˜ ๋ช…๋ น์„ ๋ฐ˜์ „ํ•˜๋Š” ๊ณฑ์…ˆ์— ์„ธํŠธ์— ๊ธฐ๋Šฅ (์ˆ˜ํ•™) ์˜ ๋ชจํ˜• ์ •์˜ํ–ˆ๋‹ค์ด๋‹ค. antiautomorphism๋Š” ๊ฐ์ฒด์—์„œ ์ž์ฒด์ ์œผ๋กœ์— bijection์ธ antihomomorphism์ด๋‹ค. ๋‹จ ์ด๋ก ์—์„œ๋Š”, antihomomorphism๋Š” ๊ณฑ์…ˆ์˜ ๋ช…๋ น์„ ๋ฐ˜์ „ํ•˜๋Š” 2๋ช… ๋‹จ ์‚ฌ์ด ์ง€๋„์ด๋‹ค. ์ด๋ ‡๊ฒŒ ๋งŒ์•ฝ์— F X Y๊ฐ€ ๋‹จ antihomomorphism์ด๋ฉด, F ((y) F (x) ๋ชจ๋“  x๋ฅผ ์œ„ํ•œ xy) F, X.์— ์žˆ๋Š” y. x์—์„œ x1๋ฅผ ์†ก์‹ ํ•˜๋Š” ์ง€๋„๋Š” ๋‹จ antiautomorphism์˜ ๋ณด๊ธฐ์ด๋‹ค. ๋ฐ˜์ง€ ์ด๋ก ์—์„œ๋Š”, antihomomorphism์—..


ํ‘œ์ • (์ˆ˜ํ•™)

‘œ์ •์€ ์ˆ˜, ํ†ต์‹ ์ˆ˜, ๊ทธ๋ฆฌ๊ณ /๋˜ํ•œ ๊ฐ€๋ณ€์„ ๊ฒฐํ•ฉํ•œ๋‹ค. ํ‘œ์ •์€ ๊ฐ€์น˜์— ํ‰๊ฐ€์ด๊ณจ์ง€๋„, ๊ทธ ๊ฐ€์น˜๋ฅผ ๋‚˜ํƒ€๋‚ด๊ณ  ๋งํ•  ์ˆ˜ ์žˆ๋‹ค. ํ‘œ์ •์˜ ํ‰๊ฐ€๋Š” ํ‘œ์ •์˜ ๋ฌธ๋งฅ์„ ํ˜•์„ฑํ•˜๋Š” ๊ฐ€์น˜์˜ ์ˆ˜ํ•™ ํ†ต์‹ ์ˆ˜ ๊ทธ๋ฆฌ๊ณ  ์‹œ์Šคํ…œ์˜ ์ •์˜ ์— ์˜์ง€ํ•˜๊ณ  ์žˆ๋‹ค. ํ‘œ์ •์—๋Š”, ๋ฌธ๋งฅ์—๊ฒŒ์„œ ์ทจํ•ด ํ‘œ์ •์—์„œ ์ •์˜๋˜์ง€ ์•Š๋Š” ์ž์œ ๋กœ์šด ๊ฐ€๋ณ€์ด ์žˆ์„์ง€๋„ ๋ชจ๋ฅด์ง€๋งŒ...


๋Œ€์ˆ˜ํ•™์ง€์„ธํ•™

Œ€์ˆ˜ํ•™ ์ง€์„ธํ•™์€ ์ถ”์ƒ์ ์ธ ๋Œ€์ˆ˜์—์„œ ๊ณต๊ตฌ๊ฐ€ ์œ„์ƒ ๊ณต๊ฐ„์„ ๊ณต๋ถ€ํ•˜๋Š” ์‚ฌ์šฉ๋˜๋Š” ์ˆ˜ํ•™์˜ ๋ถ„์ง€์ด๋‹ค...


์ŠคํŽ™ํŠธ๋Ÿผ ์˜๋ฐ˜์ง€

ถ”์ƒ์ ์ธ ๋Œ€์ˆ˜ ๋ฐ ๋Œ€์ˆ˜ํ•™ ๊ธฐํ•˜ํ•™์—์„œ๋Š”, Spec (r)์— ์˜ํ•ด ํ‘œ์‹œ๋œ R.์˜ ๋ชจ๋“  ์ฃผ์š”ํ•œ ์ด์ƒ์˜ ์„ธํŠธ์ด๊ธฐ ์œ„ํ•˜์—ฌ ๊ฐ€ํ™˜ํ™˜ (๋Œ€์ˆ˜) ์˜ ์ŠคํŽ™ํŠธ๋Ÿผ์€ R, ์ •์˜๋œ๋‹ค. ๊ทธ๊ฒƒ์€ ์œ„์ƒ ๊ณต๊ฐ„, Zariski ์ง€์„ธํ•™ ๊ทธ๋ฆฌ๊ณ  ํ˜„์ง€์— ๊ณ ๋ฆฌ ๋ชจ์–‘ ๊ณต๊ฐ„์œผ๋กœ ๊ทธ๊ฒƒ์„ ๋„๋Š” ๊ตฌ์กฐ๋ฌผ ๋‹จ์— ์ผ๋ฐ˜์ ์œผ๋กœ ์ฆ๊ฐ•๋œ๋‹ค...

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