점제품

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수학에서는, V가 벡터 공간 및 F 그것의 근본적인 야전 (수학) 인 곳에, 점곱 (일컬어 스칼라곱 및 내적) 는 기능 (수학) (·) V × V F이다. 즉 그것 지도 (수학) (공간) 스칼라에 선그림의 쌍 (수학). 후반 기간이 사용될 때, a와 b의 내적은 일반적으로 >추상적인 대우를 위해 본다 약품 내적 공간을> 표시된다>.

그것은 mathbf {a >} cdot mathbf {b} mathbf {a} 로, mathbf {b} cos heta 정의된다, >또는, 이탤리체 글자를 사용하여 T가 2개의 선그림 사이 각인 곳에 표시함 것은 선그림의 벡터 공간을 >(i.e, x = x), mathbf {a} cdot mathbf { >b} a, b, cos heta normed.

따라서, 2개의 수직 선그림의 점곱은 항상 영 이다. 만약에 a와 b가 길이 1의 두 단위 벡터 다 (i.e,) 이면, 점곱은 간단하게 그들 사이 각의 여현을 준다. 따라서, 2개의 선그림을 주어, 그들 사이 각은 위 공식을 재정비해서 찾아낼 수 있다:> cos {heta} frac {mathbf {cdot b는 mathbf {a}, mathbf {b} >이것 아주 쉽게 이해될 수 있다: 첫번째 선그림은 두번째 선그림에 점제품을 산출해서 점제품이 교환적이기 때문에 (명령은 중요하지 않다) 계획되고, 그들의 단계가 있는 길이를 통해 분자의 장악된 단계가 있는 가치를 분할해서 이후에 정상화된다.

따라서 조각의 단계가 있는 가치는 접근된 각 가치로 길이의 이음새가 없는 변환 테이블을 그리고 그 반대도 마찬가지로 달성하기 위하여 재단사가 작용한다 보다는 더 많은 것 (삼각 함수가 실제적으로 아무것도가 아니기 때문에 보다 적거나 같은 1이어야 하고 모난 가치로 쉽게 변환될 수 있다 (arcsin,…). 더 많은 것 저것에 정현 페이지에). 점곱은 알짜힘의 계산에서 특히 이용된다. 만약에 b가 단위 벡터이면, 점곱은 기계공에 있는 방향 b.에 있는 a의 투상을, 이것 준다 저 방향에 있는 군대의 분대를 준다. 기계 작업은 군대와 진지변환의 점곱이다.>

>속성>

>정의에는 뒤에 오는 결과가 있다. 점곱은 교환적인 mathbf >{a} cdot mathbf {b} mathbf {b} cdot mathbf만 {a}, 2개> 비제로 선그림 a와 b 이다 수직 만약에 및 단지 · b 0이다. 점곱은 쌍일차 mathbf >{a} cdot (r mathbf {b} + mathbf {c}) 2개의 선그림의 점곱 a1 a2 a3 직접적으로 따르는 이들에서 r (mathbf {a} cdot mathbf {> b}) + (mathbf {a} cdot mathbf {c}), 이다 협조에서 주어진 b b >1b2> b3는으로, mathbf {a >} cdot mathbf {b} mathbf {b} ^T bT가 매트릭스 b. >의 이항을 표시하는 mathbf {a} cdot mathbf {b} a-1b-1 + a-2 >b-2 + a-3 b-3, 또는 매트릭스 곱셈과 선그림을 취급하기를 사용하여 1-by-3 매트릭스로> , (수학) 특히 쉽게 계산될 수 있다. 점곱은 내적 공간의 모든 통칙을 만족시킨다. 추상적인 벡터 공간에서는, 공간의 성분 사이 각의 관념은 내적의 점에서 정의될 수 있다. 법칙 mathbf {a} cdot mathbf {b} 정의 mathbf {a} >cdot mathbf {b} mathbf {a} mathbf {b} cos heta에서 >a-1b-1 + a-2 b-2 >+ 지금 a-3 b-3, 따른ㄴ다는 것을 이들이 점곱을 정의하기의 2가지의 동등한 방법다는 것을 증명을> 후자를 파생하기 위하여 정의의 2개의 양식이 동등하다 우리 이미 보여주었다, 우리 대신 이용할 것이라는 점을 이전을 교정하십시오.

주: 이 증거는 3 차원 선그림을 위해 보이고, 그러나 상호적으로 수직 단위 벡터가 주어진 n 차원 선그림에 준비되어 있 확장 가능하다. 선그림 mathbf >{v} v-1 mathbf {i} + v-2 mathbf {j} + v-3 mathbf {k},> 피타고라스 법칙 수확량 v^2의 반복한 응용 >v-1^2 + v-2^2 + v-3^2 고려하십시오, >그러나 이것은 mathbf {v} >cdot mathbf {v} 와 동일하 v-1^2 + v-2^2 + v-3^2, >그래서 우리는 자체적으로에 선그림 v의 점곱에게 수확량을 취하는 저것을 선그림의 네모로 한 길이., 보조 정리 1 결론진다:> mathbf {v} cdot mathbf {v} v^2는 지금 >, 원천에서 고려한다, 각 T.A로 연장하는 2개의 선그림 a와 b를 세째로 c의 mathbf {c} 동등한 mathbf >{a} 로 정의된 일지모른다 - 측 a에 삼각형을, b> 만드는 mathbf {b} 방향을 바꾸십시오 분리된, 코사인 법칙에 따르면 c., 우리는 c^2가 >a^2 + b^2 있고 - 보조 정리 1에 따르면 네모로 한> 길이를 점곱을 대용하는 2개의 ab cos heta, 우리는 mathbf >{c} cdot mathbf {c} mathbf {a} cdot mathbf {a} + mathbf {b} cdot mathbf {b 얻는다} - 2개의 ab cos heta, >(1) 그러나로 c = a-b, 우리는 또한 mathbf >{c} cdot mathbf {c} (mathbf {a} - 있다 mathbf {b}), 분배 법률에 따르면 mathbf {c} cdot mathbf {> c} mathbf {a} cdot mathbf { >a} 에, + mathbf {b} cdot mathbf {b} 확장하는 cdot (mathbf {a} - mathbf {b}), - 2 (mathbf {a} cdot mathbf {b}), >(2) 2개의 c · c 방정식, (1)와 (2)를 합병해서, 우리는 장악한다 >mathbf {a} cdot mathbf {a} + mathbf {b} cdot mathbf {b} - 2 (mathbf {a} cdot mathbf {b}) mathbf {a} cdot mathbf {a} + mathbf {b} cdot mathbf {b} - · 를 a + b >· b 양측에서 감하고 - 2 잎 mathbf {a} cdot mathbf { >b} ab cos heta로 분할하는 2개의 ab cos heta,> Q.E.D.