십자가제품

What-does-it-mean.org

수학에서는, 가위곱은 선그림 (3개 차원에 있는 공간) s에 이항 연산이다. 일컬어 벡터곱 또는 바깥곱이다. 그것은 에서 점곱과 선그림에서 보다는 오히려 스칼라 귀착된다 다르다. 그것의 주요 사용은 2개의 선그림의 가위곱이 양쪽과 수직 이다 는 사실에서 속인다.

정의

2개의 선그림 a와 b의 가위곱은 × b에 의해 표시된다 (보통의 쓰기로 편지 x에 혼란을 피하기 위하여 몇몇 수학자는 b를 쓴다). 그것은 mathbf {a} >imes mathbf {b} mathbf 모자 {n} {b} 좌 mathbf {a} ight 좌 mathbf ight 죄악 heta에 의해 T> 인 선그림의 경간에 의해 정의된 비행기에 a와 b 사이 각의 측정 (0° = T = 180°) 정의될 수 있다, n는 a와 b. 둘 다에 단위 벡터 수직이고. 이 정의에 대한 문제는 a와 b 둘 다와 수직 2개 단위 벡터가 있다 이다: 만약에 n가 perpedicular 이면, 이렇게 이다 - 선그림이 정확한 사람인 n.는 주어진 직각 좌표계 (i, j, k) 의 handedness에 벡터 공간 — 의 i.e 오리엔테이션에게, 달려 있다. 가위곱은 × b 만약에 (i, j, k) 왼손잡이 이면 만약에 (i, j, k) 오른손잡이 이면 (a, b, × b) 오른손잡이, 또는 왼손잡이에 된다 그런 방법으로 정의된다. 합성되는 선그림의 방향을 계산하는 쉬운 쪽은 왼손 법칙이다.

만약에 시스템이 오른손잡이 이면, 누구든개는 첫번째 셈숫자의 방향으로 간단하게 좌 엄지 및 두번째 셈숫자 수직 분대의 방향으로 왼쪽 장지를 조준한다. 그 후에, 왼손의 상단이 합성되는 선그림에 의하여 나오고 있다. 가위곱이 좌표계의 선택에 달려 있기 때문에, 그것의 결과는 pseudovector로 불린다. 다행히, 실제로 가위곱은 좌표계의 "handedness" 가 두번째 가위곱에 의해 원상태로 돌린다 그래야, 쌍 들어와 경향이 있다. 가위곱은 다음과 같이, 오른손잡이 coordindate 시스템에 관하여 그래픽으로 나타날 수 있다:

속성

기하학 의미

가위곱의 길이는 측으로 a와 b를 있는 평행 4변형의 지역으로, × b 해석될 수 있다. 이것은 삼중적이 a, b 및 c.에 의해 형성된 평행 6면체의 양을 준ㄴ다는 것을 의미한다.

대수학 속성

가위곱은 anticommutative, × b-b × a, 분배 전면 추가, × (b + c) × b + 단계가 있는 곱셈과 × c 및 호환이 되는 그래야 (ra) × b × (굽은 길) r (× b) 이다. 그것은 연합 이지 않으며, 아니라 Jacobi 신원을 만족시킨다: 벡터 덧셈과 가위곱과 함께 R3가 사기 대수를 형성한ㄴ다는 것을 × (b × c) 는 + b × (c × a) + c × (× b) 0 Jacobi distributivity, 선형성 및 신원 보여준다. 추가로, 2개 비제로 선그림 a 및 b는 × b 0 평행한 iff이다.

Lagranges 공식

이것은 유명하고 유용한 공식, × (b × c) b (· c) - "택시 마이너스 BAC로" 기억하기 쉬운 c (· b) 이다. 이 공식은 물리학에 있는 선그림 계산을 간단하게 하기에 아주 유용하다. del (nabla) 통신수를 관련시킨 때 그것이 붙들지 않는다, 주에 중요하다, 그러나. 선그림 미적분학에 기온변화도에 대하여 특별한 케이스 및 유용한 것, 시작한다 >{매트릭스} abla imes (abla imes mathbf {f}) & & abla (abla cdot mathbf {f}) - (abla cdot abla) mathbf {f} & & mbox {졸업생} 이다 (mbox {사단} mathbf {f}) - mbox {laplacian} mathbf {f}. {매트릭스} 이것을 >이다 일반적인 Hodge 분해 델타 Hodge Laplacian의 >d의 특별한 예 부분> + 부분적인 d 끝내십시오. Lagrange의 또 다른 유용한 신원은 >imes b ^2 + cdot b ^2 ^2 b ^2 이다.> 이것은 quaternion 대수에 있는 규범의 >multiplicativity vw >v w의 특별한 예이다.

매트릭스 표기법

단위 벡터는 주어진 직각 좌표계에서 I, j 및 k 뒤에 오는 평등을 만족시킨다: 이 규칙에 I × j k j × k I k × I j는 어떤 각든지 결정하는 필요 없이, 2개의 선그림의 가위곱의 협조, 쉽게 계산될 수 있다: a1i + a2j + a3k a1 a2 a3와 b b >1i> + b2j + b3k b >1b2> b3 그 후에 × b a2b3 a3b2 a3b1 >1b3> 위 구성요소 표기법이 또한 매트릭스 (수학) 의 결정 요인으로 형식적으로 써질 수 있는 >1b2> a2b1 시키십시오: >mathbf {a} imes mathbf {b} det는 {bmatrix} mathbf {i} 시작한다 & mathbf {j} & mathbf {k는 det (a, b, c 복구될) 로} a-1 & a-2 &> a-3 b-1 & b-2 & b-3 끝 {bmatrix} 3개의 선그림의 결정 요인 · (b × c 수 있다).

직관적으로, 가위곱은 {매트릭스} mathbf {i >} & mathbf {j} & mathbf {k} & mathbf {i} & mathbf {j} & mathbf {k} 첫번째 3개 단위 벡터를 위한 a-1 & a-2 & a-3 & a-1 & a-2 & a-3 b-1 & b-2 & b-3 & b-1 & b-2 & b-3 끝 {매트릭스} 시작하십시오 >Sarruss 계획에 의해 오른쪽으로, 곱한다 대각선에 성분을 기술될 수 있다 (예를들면 첫번째 대각선은 i, a2 및 b3를 포함할 것입니다. 마지막 3개 단위 벡터를 위해, 대각선에 성분을 좌측에 곱하고 그 후에 제품을 부정하십시오 (예를들면 마지막 대각선은 k, a2 및 b1를 포함할 것입니다.

가위곱은 이 제품의 합계에 의해 정의될 것입니다: >mathbf {i} (a-2b-3) + mathbf {j} (a-3b-1) + mathbf {k} (a-1b-2) - mathbf {i} (a-3b-2) - mathbf {j} (a-1b-3) 는 또한 quaternions의 점에서 - mathbf {k} >(a-2b-1) 가위곱 기술될 수 있다. 만약에 우리가 quaternion로 선그림 a1 a2 a3를 a1i + a2j + a3k 나타내면 예를 들면 I, j 및 k.가 quaternions 중 증가하는 관계와 i, j 및 k의 사이에서 상기 주어진 가위곱 관계에 의하여 일반적으로 일치한다 고시, 우리는 그들의 제품을 quaternions로 취하고 결과의 실제적인 부분을 삭제해서 2개의 선그림의 가위곱을 장악한다 (실제적인 부분은 2개의 선그림의 점곱의 네거티브일 것이다). quaternion 곱셈, 벡터 연산 및 기하학 사이 연결에 관하여 더 많은 것은 quaternions와 공간 교체에 찾아낼 수 있다.

응용

가위곱은 벡터 연산자 컬을 위한 공식에서 생긴다. 그것은 또한 이동하는 전기료에 의해 경험된 자기장에 있는 로렌츠 힘을 기술하기 위하여 이용된다. 토크와 각 운동량의 정의는 또한 가위곱을 관련시킨다. 가위곱은 또한 삼각형 다각형을 위한 정상을 산출하기 위하여 이용될 수 있다.

더 높은 차원

7차원 선그림을 위한 가위곱은 quaternions 대신에 octonions를 사용해서 같은 방식으로 장악될 수 있다. 이 7차원 가위곱에는 뒤에 오는 속성 과 같이 일반적인 3 차원 가위곱이 있다: 감에 있는 쌍일차 통신수 저 ay x × (+ bz) 도끼 × ay y + bx × z (+ bz) × x ay × x + bz × x.이다. 그것은 anticommutative 이다: x × y + y × x 0 그것은 x와 y 둘 다와 수직 이다: x · (x × y) y · (x × y) 0 우리는 x × y >2> x >2> y >2> (x · y) 3 차원 가위곱과는 다른 >2가>, 그것 그러나 만족시키지 않는다 Jacobi 신원을 있다 (평등은 3개 차원에서 붙들 것입니다): x × (y × z) 는 + y × (z × x) + z × (일반적인 차원에서 x × y) 0, 거기 가위곱의 직접적인 아날로그가 없다. 그러나 유사한 속성이 있는 쐐기곱이 있다, 라는 것 말고는 2개의 선그림의 쐐기곱은 지금 정규 선그림 대신에 2선그림이다. 가위곱은 Hodge 이원성을 사용하여 3개 차원에 있는 쐐기곱으로 선그림에 2선그림을 확인하기 위하여 후에 해석될 수 있다. 쐐기곱 및 점곱은 Clifford 대수를 형성하기 위하여 결합될 수 있다.