単純化できな多項式

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数学では、目的がある特定のリングに少なくとも2つの大切な要因のプロダクトとして表現することができないこと形容詞の単純化できない平均。 因数分解をまた見なさい。 あらゆるフィールド(数学)のためにF、Fの係数の整式のリング(数学)はそれが非一定、 >この >定義によってがある >簡単な例が> >後で >論議されるフィールドF. >に> 左右されるF Xからの2つ以上の非一定の整式のプロダクトとして表すことができなければF >の多項式 >p (x)がX単純化できない終わるFと呼出されるF X Aによって表示される。 Galois理論はフィールド、Galoisのグループおよび詳細な単純化できない整式間の関係を調査する。 興味深く、大切なアプリケーションは有限なフィールドの調査で見つけることができる。 素数と単純化できない整式を比較することは有用である: 素数は(等しい係数の対応する負数とともに)単純化できない整数である。 それらは主か単純化できない要因に本質的に一義的な因数分解のような単純化できない整式に均等に、適用する概念の既約性の汎用特性の多数を表わす: F X >のあらゆる> 多項式 >p (x)は >単純化できない終わるF.のこの因数分解である要因の置換およびFからの要因に定数の乗法まで一義的整式に因数分解することができる。

簡単な例

次の3つの整式は可約および単純化できない整式のある基本的な特性を示す: >p-1(x) x^2-4は、(x-2) (x+2) p-2(x) x^2-2、(x-のsqrt {2}) (x+のsqrt {2}) p-3(x)有理数のフィールドQ上のx^2+1> 、(XI) (x+i)、最初の整式 >p-1(x)> 可約であるが、他の2つの整式は単純化できない。 実数のフィールドRに、2つの整式は >p-1(x)> および >p-2(x)> 可約であるが、 >p-3(x)は> まだ単純化できない。 複素数のフィールドCに、3つの整式はすべて可約である。 実際は遠弾Cは線形要因pに(z)、あらゆる非一定の整式 >(z-z-1) (z-z-2考慮することができる)整式および> z-1 >の> 一流係数がであるところcdots (z-z-n >)は程度1、> ldots、z-n p >(z)の> ゼロそれ故に、すべての単純化できない整式であるである。 これは代数学の基本的な定理である。 注: QにX属しない >要因に本質的に一義的な因数分解p-3(x) x^2+1> の 存在は(XI) (x+i) >のp-3(x) >この整式が単純化できない終わるQであることを意味する: 別の因数分解がある場合もない。 これらの例は線形要因に整式(代数同等化の解決)のゼロと整式の因数分解間の関係を示す。 程度以上の1の単純化できない整式の存在は(ゼロなしで元のフィールド)歴史的にこれらの整式が線形要因に減らすことができるようにその元の数値型のフィールドのフィールド拡張に動機を与えた: から実数と更に複素数への有理数。 代数目的のために、有理数からの実数への拡張は頻繁に余りに根本的である: それは(理性的な係数の代数同等化の解決でない)超越的な番号もたらす。 これらの番号は整式でない(しかし数理解析の実数の使用に必要くてであって下さい)因数分解する代数目的のために必要。 従って、この多項式p (x)が線形要因に減らすことができるより大きいフィールドに拡張の >ある特定の多項式> p (x)のある特定のフィールドF >守備につく> 全く代数プロセスがある。 そのような拡張の調査はGalois理論のスタート地点である。

汎用化

Rが必要な領域なら、非単位gおよびf ghのhがなければゼロでない単位単純化できない呼出されるRの要素fは。 1つは、逆でない一般しかし一義的な因数分解領域の把握に本当あらゆる素数の要素が単純化できないことを示すことができる。 多項式リングF Xの遠弾はフィールドF一義的な因数分解領域である。