反対限界

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数学では、反対限界は(また投影的な限界と呼出される) 1つが複数の関連の目的を一緒につけるようにする構築目的間のmorphismsによって指定されるつくプロセスの精密な問題である。 反対限界はあらゆるカテゴリ(数学)で定義することができるが私達は最初にグループ(数学)の反対限界しか考慮しない。

形式定義

代数目的

私達はグループ(数学)およびグループの準同形写像の逆システムの定義から開始する。 割り当てられる(I、=)指示された一定のposetがであって下さい(すべての著者がIが指示されるように要求しない)。 {Ai私I}、グループインデックスセットの系列Iによって私達にすべてのためのhomomorphismsのfij Aj Aiの系列がi =次の特性とのj (順序に注意しなさい)いることを仮定する割り当てなさい: すべてのすべてのx Aiのfikのfij Oのfjkのためのfii (x) X i = j = k。 そしてペア(Aiのfijはグループおよびmorphisms終わるI.の逆システムと呼出される。 私達は逆システム(会計情報システムの反対限界をの直接プロダクトの特定小群としてAiのfij定義する: >varprojlim A-iは{(a-i)突き棒{i I} A-i、bigg、a-i f- {ij} (a-jの) mbox {すべてのために} iのleq jのightで}> 反対限界を、A、来る>Iつ>A Aiに直接プロダクトのithの構成部を選ぶ自然な予測を装備されて去った。 反対限界および自然な予測は次のセクションで記述されているユニバーサル特性を満たす。 この同じ構築は会計情報システムならセット、リング(数学)、モジュール(数学) (固定リングに)、フィールド上の代数学(固定フィールドに)、等遂行されるかもしれ、homomorphismsは対応するカテゴリ理論のhomomorphismsである。 反対限界はまたそのカテゴリに属する。

概要定義

反対限界は任意のカテゴリ(数学)でユニバーサル特性によって抽象的に定義することができる。 割り当てられる(XI fijはカテゴリC (上でと同じ定義である)の目的そしてmorphismsの逆システム。 このシステムの反対限界はmorphismsとともにCの目的X >I> X XI (予測と呼出される)満足>iの>fij O >j>ペア(X、>私は>感覚でユニバーサル他のそのようなペアのためになるである(Yは、そこの>i>一義的なmorphism u Y Xすべての明らかなidentitesを本当に作るすなわち図表ある すべてのための絶対必要の可換性の図表i、j。 反対限界は頻繁に >逆システムが付いている表示された> Xのvarprojlim XIである(XI理解されるfij。 代数目的のためにとは違って、反対限界は任意のカテゴリにないかもしれない。 しかし強い感覚で一義的である: 別の反対限界Xを与えられてある予測のマップと取り替える一義的な類質同形X Xがある。 私達はカテゴリCの逆システムがfunctorsによって代わりとなるdesriptionを是認することに注意する。 あらゆる部分的に発注されたセット私はmorphismsが矢I j敵味方識別装置Iから=逆システムによってがちょうどcontravariant functor I C.であるj.成っている小さいカテゴリとして考慮することができる。

例

p-adic番号のリングは通常順序の自然数である索引セットが付いているリングZ/pnZの反対限界(モジュラー算術を見なさい)および取得余りであるmorphismsである。 p-adic整数の自然な位層幾何学はここに記述されているものと同じである。 プロ有限なグループは有限なグループの反対限界と定義される。 逆システムの索引セットIを許可しなさい(XI fijに大きい要素m.がある。 それから自然な予測>m> X Xmは類質同形である。 割り当てられる(I、)とるに足らない順序がであって下さい(指示されない)。 対応するあらゆる逆システムの反対限界はちょうどプロダクト(カテゴリ理論)である。 私は3つの要素からI、jおよびkとのi = jおよびi = k成っている(指示されない)。 プルバック(カテゴリ理論)の対応する逆システムの反対限界。

関連の概念および汎用化

反対限界の二重は(カテゴリ理論)直接限界である(または誘導限界)。 汎用概念はカテゴリ理論の限界(カテゴリ理論)である。 専門用語は幾分複雑である: 反対限界は直接限界はcolimitsであるが、限界である。