Idempotent

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数学では、idempotentの要素は、直観的に、何かを不変に去る要素である。 2つの主要な定義がある。 増加されたとき(機能(数学)のために、と構成されて)自体2進演算を与えられて、idempotentの要素(か単にidempotent)何か、その結果与える自体である。 例えば、乗法の下にidempotentである唯一の2つの実数は0および1である。 かつて応用だったようにあらゆる要素に二度適用される時はいつでも、同じ結果を与えれば単項演算(すなわち、機能)は、idempotentである。 例えば、すばらしい整数機能は実数のセットからの整数のセットへ機能としてidempotentである。

定義

2進演算

Sがそれの2進演算を用いるセットなら形式的に、そしてSの要素はidempotent (に関して) ifs ssであると言われる。 特に、どの一致素子でもidempotentである。 Sのあらゆる要素がidempotentなら、2進演算はidempotentであると言われる。 例えば、連合(集合論)および交差(集合論)の操作は両方idempotentである。

単項演算

fが単項演算なら形式的に、発言fはYにXをマップし、YがXのサブセットなら、Xのすべてのxのためのidempotent、f ((x) (x) f) fである。 特に、識別機能はidempotentであり、どの一定した機能でもまたidempotentである。 X-Yならことに注目しなさい、そして私達はSを、Xからのそれ自身にすべての機能のセット考慮するかもしれない。 fがこの2進演算のidempotentの要素であるときだけこの場合、機能(表示されたo)の構成(数学)は単項演算子としてXの2進演算、および機能f X Xであるidempotentおよびときだけfならo f f、すなわち、であり。 私達はfがX.のidempotentであると言う。

共通の例

機能

上記されるように、識別のマップおよび一定したマップはidempotentのマップ常にである。 より少なくとるに足らない例は実数または複素数のアーギュメントの絶対値機能、および実質のアーギュメントのすばらしい整数機能である。 位層幾何学スペースXのあらゆるサブセットUにUの閉鎖(位層幾何学)を割り当てる機能はX.の力セットのidempotentである。 それは閉鎖オペレータの例、すべての閉鎖オペレータであるidempotent機能である。

Idempotentのリングの要素

リング(数学)のidempotentの要素は定義によってリングの乗法に関してidempotentである要素である。 1つは次の通りリングのidempotentsの部分的な順序を定義するかもしれない: eおよびfがidempotentsなら、私達はこの順序に関してe = f敵味方識別装置E-F fe e.書く、0最も小さいおよび1つは最も大きいidempotent。 eがリングRのidempotentなら、より前に増加する識別e. 2のidempotents eおよびfのリングは、呼出される直角とE-F feなら0再度ある。 この場合、e + fはまたidempotentであり、eがリングRのidempotentなら私達はe = e + fおよびf = e + f.、そうであるf 1持っている- e、eおよびfは直角である。 この場合R.のすべてのxのための前のxeが、に関して増加する識別e.のリングならRのidempotent eは中央と呼出される。 Rの中央idempotentsはリングの直接合計としてRの分解と密接に関連している。 RがリングR1の直接合計なら、RnはそれからリングRiの一致素子直角Rの中央idempotents、一対にであり合計は1である。 逆に、中央idempotents e1を与えられて、一対に直角の、合計1あるRのenは、そしてRがリングRe1のそう特に直接合計、Renである、Rのあらゆる中央idempotent eはレニウムの直接合計としてRおよびR (1 - e)の分解をもたらす。 0および1と異なっているどのidempotent eでもゼロ除数である(のでe (1 - e) 0)。 これは必要な領域におよび分割リングにそのようなidempotentsがないことを示す。 ローカルリングにまた別の理由のためのそのようなidempotentsが、ない。 リングのJacobson基で含まれている唯一のidempotentは0である。 すべての要素がidempotentであるリングはブールリングと呼出される。 それはあらゆるそのようなリングで、乗法が可換性であり、あらゆる要素が自身の添加物のinverseであること示すことができる。

他の例

Idempotent操作はブール代数でまた見つけることができる。 論理的論理的またはブール代数の要素上のidempotent操作は両方ともであり。 線形代数学では、予測はidempotentである。 すなわち、V自体が修復されるpointwiseなら、subspace Vにすべてのベクトルを予測するどの線形変形でも(必ずしも直角に) idempotentである。 semiring idempotentは付加(ない乗法)をidempotentがあるsemiringである。

コンピュータ・サイエンス

計算の、idempotenceは同じ効果を使用された多重時ならもたらす何かの品質である一度だけ使用されたら。 これは上で与えられる単項演算定義である。 特に、Cのプログラミング言語のヘッダーファイルは頻繁にidempotent、ヘッダーファイルが一度多くにより(ように>含んでいる>)容易に入り込まれると起こることができる含まれていれば、すなわちであるように設計されている、厄介な効果何も-ずっと一度だけ含まれている場合とである同じ起こらない。 Idempotentの動作は同じ要求がまたコピーを原本を必要とするかわりに同じ応答1を使用できれば提供すれば、網のキャッシュの能力のための基礎である。 ユーザー・インターフェースデザインでは、ボタンはそれをもっと押すidempotentと呼出すことができより一度同じ効果をともたらすそれを一度押す。 例えば、休止ボタンは休止した州を切り替えればidempotentでない。 一方では、それを押すことが保てば多重時システムは休止し、演劇を押すことは再開する、そして休止はidempotentである。 これは赤外線遠隔操縦装置およびユーザーが正常に押すことボタンをの確実の、それを再度押すかもしれない接触スクリーンのようなインターフェイスに有用である。 エレベーター呼出しボタンはまた多くの人々が考えるけれども、idempotentであるないことを。