点プロダクト

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数学では、Vがベクトル空間およびF根本的なフィールド(数学)であるところに、点プロダクト(別名スカラープロダクトおよび内部プロダクト)は機能(数学) (·) V × V Fである。 すなわち、それマップ(数学)スカラーへのベクトルのペア(数学) (空間的な)。 後のタームが使用されるとき、aおよびbの内部プロダクトは通常より>抽象的な処置については見る記事の内部プロダクトスペースを>表示される>。 それはmathbf {a >} cdotのmathbf {b} mathbf {a}と、mathbf {b} Cosのheta定義される、> または、イタリック体を使用してTが2つのベクトル間の角度であるところで表示することはベクトルのベクトル空間を >(すなわち、x = x)、mathbf {a} cdotのmathbf { >b} a、b、Cosのheta normed。 従って、2つの垂直なベクトルの点プロダクトはゼロ常にである。 aおよびbが長さ1の両方とも単位ベクトル(すなわち、)なら、点プロダクトはそれら間の角度の余弦を単に与える。 従って、2つのベクトルを与えられて、それら間の角度は上記の方式の再配列によって見つけることができる:> Cos {heta} frac {mathbf {cdotのbはmathbf {a}、mathbf {b} >これ非常に容易に理解することができる: 最初のベクトルは第2ベクトルに点プロダクトの計算によって点プロダクトが可換性であるので(順序は重要でない)予測され、スカラー長さによる分子の得られたスカラー値の分割によってその後正規化する。 従って一部分のスカラー値は近づく角度値に長さの継ぎ目が無い変換テーブルをまたその逆にも達成するためにテーラーが作用するより多く(三角法機能が実際に何もでないので1と等しいかまたはそれ以下でなければなり、角値に容易に変換することができる(arcsin、…)。 多くそれに正弦のページで)。 点プロダクトは純力の計算で特に使用される。 bが単位ベクトルなら、点プロダクトは機械工の方向b.のaの予測を、これ与えるその方向の力の構成部を与える。 機械的な仕事は力および変位の点プロダクトである。>

>特性>

>定義に次の結果がある。 点プロダクトは可換性のmathbf >{a} cdotのmathbf {b} mathbf {b} cdotのmathbf {a}、2つの> ゼロではないベクトルaおよびbである垂直およびときだけ· b 0である。 点プロダクトは二本線のmathbf >{a} cdot (rのmathbf {b} + mathbf {c})こと2つのベクトルの点プロダクトa1 a2 a3直接続くこれらからのr (mathbf {aの} cdotのmathbf {> b}) + (mathbf {aの} cdotのmathbf {c})、である 座標で与えられるb b >1b2> b3はとしてmathbf {a >} cdotのmathbf {b} mathbf {b} ^T bTがマトリックスb. >の置換を表示するmathbf {a} cdotのmathbf {b} a-1b-1 + a-2 >b-2 + a-3 b-3、かマトリックスの乗法およびベクトルを扱うことを使用して1-by-3マトリックスとして> 、(数学)特に容易に計算することができる。 点プロダクトは内部プロダクトスペースのすべての公理を満たす。 抽象的なベクトル空間では、スペースの要素間の角度の概念は内部プロダクトによって定義することができる。 定理のmathbf {a} cdotのmathbf {b}定義mathbf {a} >cdotのmathbf {b} mathbf {a} mathbf {b} Cosのhetaから >a-1b-1 + a-2 b-2 >+ a-3 b-3、続くことをこれらが点プロダクトを定義する2つの同等の方法であると証明するために後者> 得るのに定義の2つの形式が同等私達既に示してしまった、私達今代りに使用する前をであること検査しなさい。 注: この証拠は3dベクトルのために示されているが、相互に垂直な単位ベクトルがあるnの次元のベクトルに容易に拡張可能である。 ベクトルmathbf >{v} v-1 mathbf {i} + v-2 mathbf {j} + v-3 mathbf {k}、 >ピタゴラス学派の定理の収穫v^2の繰り返されたアプリケーション >v-1^2 + v-2^2 + v-3^2考慮しなさい、> しかしこれはmathbf {v} >cdotのmathbf {v}と同じv-1^2 + v-2^2 + v-3^2である、> 従って私達はそれ自身のベクトルvの点プロダクトに収穫を取るそれをベクトルの平方された長さ。、主題1結論を出す:> mathbf {v} cdotのmathbf {v} v^2は、 >今起源から考慮する、角度t. Aで伸びる2つのベクトルaおよびbを三番目にcをmathbf {c}同等のmathbf >{a}と定義されるかもしれない-側面aと三角形を、b> 作成するmathbf {b}方向を変えれば分かれている、余弦の法律に従うc.、私達にc^2が >a^2 + b^2ある-主題1に従って平方された> 長さの点プロダクトを代わりにする2つのab Cosのheta私達はmathbf >{c} cdotのmathbf {c} mathbf {a} cdotのmathbf {a} + mathbf {b} cdotのmathbf {b得る} - 2つのab Cosのheta、 >(1)しかしとしてc = a-b、私達はまたmathbf >{c} cdotのmathbf {c} (mathbf {a} -有するmathbf {b})、分配の法律に従ってmathbf {c} cdotのmathbf {> c} mathbf {a} cdotのmathbf { >a}に、+ mathbf {b} cdotのmathbf {b}拡大するcdot (mathbf {a} - mathbf {b})、- 2 (mathbf {aの} cdotのmathbf {b})、 >(2) 2つのcの· cの同等化、(1)および(2)をマージして、私達は得る >mathbf {a} cdotのmathbf {a} + mathbf {b} cdotのmathbf {b} - 2 (mathbf {aの} cdotのmathbf {b}) mathbf {a} cdotのmathbf {a} + mathbf {b} cdotのmathbf {b} - ·をa + bの >· b両側から引き、- 2つの葉のmathbf {a} cdotのmathbf { >b} ab Cosのhetaで分かれる2つのab Cosのheta >Q.E.D。