十字プロダクト

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数学では、十字プロダクトはベクトル(3つの次元の空間的な) sの2進演算である。 それは別名ベクトルプロダクトまたは外プロダクトである。 それは点プロダクトとベクトルでよりもむしろスカラーで起因すること異なる。 その主要な使用は2つのベクトルの十字プロダクトが両方に垂直であるという事実にある。

定義

2つのベクトルaおよびbの十字プロダクトは× bによって表示される(longhandで文字Xとの混乱を避けるために何人かの数学者はbを書く)。 それはmathbf {a} >imesのmathbf {b} mathbfの帽子{n} {bの}左のmathbf {a} ightの左のmathbf ightの罪のhetaによってT> であるベクトルのスパンによって定義される平面のaとb間の角度の測定(0° = T = 180°)定義することができるおよびnはaおよびb.両方へ単位ベクトル垂直である。 この定義を含む問題はaおよびb両方に垂直なツーユニットのベクトルがあることである: nがperpedicularなら、そうある-ベクトルが正しいものであるn.はある特定の直角座標系(i、j、k)のhandednessにベクトル空間の—のすなわちオリエンテーションに、左右される。 十字プロダクトは× b (i、j、k)左利きがなら(i、j、k)右利きがなら(a、b、× b)右利き、または左利きになるように定義される。 結果として生じるベクトルの方向を計算する簡単な方法は左規則である。 システムが右利きなら、1つは第1オペランドの方に左の親指および第2オペランドの垂直の構成部の方に左の中指を単に指す。 そして、結果として生じるベクトルは左手の上から出ている。 十字プロダクトが座標系の選択に依存するので、結果はpseudovectorと言われる。 幸いにも、実際のところ十字プロダクトは座標系の「handedness」が第2十字プロダクトによって取消されるようにペア入って来がちである。 十字プロダクトは次の通り、右利きのcoordindateシステムに関して図式で表すことができる:

特性

幾何学的な意味

十字プロダクトの長さは側面としてaおよびbを持っている平行四辺形の領域として、× b解読することができる。 これは三重プロダクトがa、bおよびc.によって形作られる平行六面体のボリュームを与えることを意味する。

代数特性

十字プロダクトはanticommutative、×のb-bの× a、分配の終わる付加、× (b + c) × b +スカラー乗法との× cおよび互換性があるように(ラジウム) × b × (ルビジウム) r (× b)である。 それは連想でないが、Jacobiの識別を満たす: ベクトル付加および十字プロダクトとともにR3がうそ代数学を形作ることを× (bの× c)は+ bの× (cの× a) + cの× (× b) 0 Jacobiのdistributivity、直線性および識別示す。 更に、2つのゼロではないベクトルaおよびbは× b 0平行敵味方識別装置である。

Lagrangesの方式

これは有名で、有用な方式、× (bの× c) b (· c) - 「タクシー引くBACとして」より覚え易いc (· b)である。 この方式は物理学のベクトル計算の簡素化に非常に有用である。 しかしそれはdel (nabla)オペレータを含むとそれが保持しないことノートにとって重要である。 ベクトル微積分に勾配に関する特別な場合および有用の、始める >{マトリックスの} ablaのimes (ablaのimesのmathbf {f})及び及びabla (ablaのcdotのmathbf {f}) - (ablaのcdotのablaの) mathbf {f}及び及びmbox {卒業生}ある(mbox {divの} mathbf {f}) - mboxの{laplacian} mathbf {f}。 {マトリックス}これを >である汎用Hodgeの分解のデルタHodge Laplacianの >dの特別な場合が部分的で> +部分的なd終了しなさい。 ラグランジュのもう一つの有用な識別は >imes b ^2 + cdot b ^2 ^2 b ^2である。> これはquaternionの代数学の標準の >multiplicativityのvw >v wの特別な場合である。

マトリクス・ノーテーション

単位ベクトルはある特定の直角座標系からのI、jおよびk次の等式を満たす: これらの規則とのI × j k jの× k I kの× I jは角度を定める必要性なしで、2つのベクトルの十字プロダクトの座標、容易に計算することができる: a1i + a2j + a3k a1 a2 a3およびb b >1i> + b2j + b3k b >1b2> b3そして× b a2b3 a3b2 a3b1 >1b3>上記の構成表示法がまたマトリックス(数学)の決定要因として形式的に書くことができる>1b2> a2b1許可しなさい: >mathbf {a} imesのmathbf {b} detは{bmatrixの} mathbf {i}始める及びmathbf {j}及びmathbf {kはdet (a、b、c回復)として} a-1及びa-2及び> a-3 b-1及びb-2及びb-3端{bmatrix} 3つのベクトルの決定要因· (bの× cできる)。 直観的に、十字プロダクトは{マトリックスの} mathbf {i >}及びmathbf {j}及びmathbf {k}及びmathbf {i}及びmathbf {j}及びmathbf {kの}最初の3つの単位ベクトルのためのa-1及びa-2及びa-3及びa-1及びa-2及びa-3 b-1及びb-2及びb-3及びb-1及びb-2及びb-3端{マトリックス}始めなさい >Sarrussスキームによって右に、増加する対角線の要素を記述することができる(例えば最初の対角線はi、a2およびb3を含んでいる。 最後の3つの単位ベクトルのために、対角線の要素を左に増加し、次にプロダクトを否定しなさい(例えば最後の対角線はk、a2およびb1を含んでいる。 十字プロダクトはこれらのプロダクトの合計定義される: >mathbf {i} (a-2b-3) + mathbf {j} (a-3b-1) + mathbf {k} (a-1b-2) - mathbf {i} (a-3b-2) - mathbf {j} (a-1b-3)はまたquaternionsによって- mathbf {k} >(a-2b-1)十字プロダクト記述することができる。 quaternionとしてベクトルa1 a2 a3をa1i + a2j + a3k表せば、例えばIつ、jおよびk.がquaternions間の増加する関係とi、jおよびkの中の上である特定の十字プロダクト関係によってが一般に一致すること注意、私達は彼らのプロダクトをquaternionsとして取り、結果の実質の部分を削除することによって2つのベクトルの十字プロダクトを得る(実質の部分は2つのベクトルの点プロダクトの陰性である)。 quaternionの乗法、ベクトル操作および幾何学間の接続についての詳細はquaternionsおよび空間的な回転で見つけることができる。

アプリケーション

十字プロダクトはベクトルオペレータカールのための方式に発生する。 また移動充電によって経験されるmagnetic fieldでLorentz力を記述することを使用する。 トルクおよび角運動量の定義はまた十字プロダクトを含む。 また十字プロダクトが三角形または多角形のための常態を計算するのに使用することができる。

より高い次元

7次元のベクトルのための十字プロダクトはquaternionsの代りにoctonionsの使用によって同じように得ることができる。 この7次元の十字プロダクトに次の特性と共通して通常の3d十字プロダクトがある: それは感覚の二本線オペレータそのxの×の(+ bz ay)斧の× y + bxの× zの(+ bz ay) × Xのay × X + bzの× X.である。 それはanticommutativeである: X × y + yの× X 0 それはxおよびy両方に垂直である: X · (xの× y)のy · (xの× y) 0 しかし私達はxの× y >2> x >2> y >2> (xの· y) 3d十字プロダクトとは違って>2を>、それ満たさないJacobiの識別を有する(等式は3つの次元で保持する): X × (yの× z)は+ yの× (zの× X) + zの× (汎用次元のxの× y) 0、そこに十字プロダクトの直接アナログでない。 今では同じような特性がある、但し例外としては2つのベクトルのくさびプロダクトは通常のベクトルの代りに2ベクトルであるしかしくさびプロダクトがある。 十字プロダクトはHodgeの二元性を使用して3つの次元のくさびプロダクトとしてベクトルの2ベクトルを識別するために後解読することができる。 くさびプロダクトおよび点プロダクトはCliffordの代数学を形作るために結合することができる。