Irriducibile polinomiale

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Nella matematica, i mezzi irriducibili di aggettivo che un oggetto non può essere espresso come prodotto almeno di due fattori non banali in un dato anello. Veda inoltre la scomposizione in fattori. Per tutto il campo (matematica) F, l'anello (matematica) dei polinomi con i coefficenti nella F è denotato >dalla F x >A che P >polinomiale (x)> >nella F x >è chiamato F eccessiva >irriducibile> se è non-costante e non può essere rappresentato come il prodotto polinomi di due o non-più costanti >dalla F x >questa definizione dipende dal campo F. alcuni esempi semplici saranno discussi sotto. La teoria di Galois studia il rapporto fra un campo, il suo gruppo di Galois ed i sui polinomi irriducibili approfonditi.

Le applicazioni interessanti e non banali possono essere trovate nello studio sui campi limitati. È utile confrontare i polinomi irriducibili ai numeri principali: i numeri principali (insieme ai numeri negativi corrispondenti di modulo uguale) sono i numeri interi irriducibili. Presentano molte delle proprietà generali dell'irreducibilità di concetto che si applicano ugualmente ai polinomi irriducibili, quale la scomposizione in fattori essenzialmente unica nei fattori principali o irriducibili: Ogni P >polinomiale (x)> >nella F x >può essere scomposto nei polinomi che sono eccessivo irriducibile questa scomposizione in fattori del F. sono unici fino a permutazione dei fattori ed alla moltiplicazione dei costanti dalla F ai fattori.

Esempi semplici

I seguenti tre polinomi dimostrano alcune proprietà elementari dei polinomi riducibili ed irriducibili: >p-1(x) x^2-4, (x-2) (x+2) p-2(x) x^2-2, (sqrt di x {2}) (sqrt di x+ {2}) p-3(x) x^2+1, (xi) (x+i)> sopra il campo Q dei numeri razionali, il primo polinomio >p-1(x)> è riducibile, ma gli altri due polinomi sono irriducibili. Sopra il campo R dei numeri reali, i due polinomi >p-1(x)> e >p-2(x)> sono riducibili, ma >p-3(x)> è ancora irriducibile. Sopra il campo C dei numeri complessi, tutti e tre i polinomi sono riducibili. In effetti l'eccedenza C, ogni polinomio non-costante può essere scomposta nei fattori lineari >P (z) (z-z-1) (z-z-2) i cdots (z-z-n)> dove è il coefficente principale del polinomio e >dello z-1, i ldots, Zn> sono gli zeri >di P (z)> quindi, tutti i polinomi irriducibili sono del grado 1. Ciò è il teorema fondamentale di algebra. Nota: L'esistenza di una scomposizione in fattori essenzialmente unica >p-3(x) x^2+1 (xi) (x+i)> di >p-3(x)> nei fattori che non appartengono >a Q x >implica che questo polinomio sia Q eccessiva irriducibile: ci non può essere un'altra scomposizione in fattori. Questi esempi dimostrano il rapporto fra gli zeri di un polinomio (soluzioni di un'equazione algebrica) e la scomposizione in fattori del polinomio nei fattori lineari. L'esistenza dei polinomi irriducibili del grado più notevolmente di uno (senza zeri nel campo originale) ha motivato storicamente l'estensione del campo di quel campo originale di numero in moda da persino potere ridurre questi polinomi nei fattori lineari: dai numeri razionali ai numeri reali e più ulteriormente ai numeri complessi. Per gli scopi algebrici, l'estensione dai numeri razionali ai numeri reali è spesso troppo radicale: Introduce i numeri transcendental (che non sono le soluzioni delle equazioni algebriche con i coefficenti razionali). Questi numeri non sono necessari per lo scopo algebrico della scomposizione i polinomi (ma in fattori sia necessaria per l'uso dei numeri reali nell'analisi matematica). Quindi, ci è un processo puramente algebrico all'estensione del campo un il dato campo F con dato P >polinomiale (x)> ad un più grande campo in cui questo P >polinomiale (x)> può essere ridotto nei fattori lineari. Lo studio su tali estensioni è il punto di partenza della teoria di Galois.

Generalizzazione

Se la R è un settore integrale, un elemento f della R che è nè zero nè di un'unità è chiamato irriducibile se non ci sono non-unità g e h con la f gh. Uno può indicare che ogni elemento principale di numero è irriducibile, l'inverso non è allineare generalmente ma strette nei settori unici di scomposizione in fattori. L'eccedenza polinomiale dell'anello la F x un campo F è un settore unico di scomposizione in fattori.